В теории вероятностей случайные события представляют собой исходы экспериментов, которые могут произойти или не произойти. Для формализации анализа таких исходов вводится система операций над событиями, позволяющая строить сложные события из более простых. Эти операции аналогичны операциям над множествами, поскольку множество элементарных исходов образует пространство элементарных событий, а сами события являются его подмножествами. Как отмечается в «Теории вероятностей и математической статистике» Гмурмана, такое соответствие является фундаментальным и позволяет применять аппарат теории множеств к вероятностным моделям. Основными операциями, определяемыми над событиями, являются объединение (сумма), пересечение (произведение), разность и дополнение. Операция объединения событий A и B, обозначаемая A∪B или A+B, означает наступление хотя бы одного из этих событий. В терминах множеств это соответствует объединению множеств исходов, благоприятствующих событиям A и B. Операция пересечения, A∩B или AB, означает совместное наступление обоих событий, то есть реализацию исходов, общих для A и B. Разность событий A\B определяется как наступление события A при условии, что событие B не наступает. Особое значение имеет операция дополнения (отрицания), которая в контексте данной главы является центральной. Дополнением события A называется событие Ā (читается «не A»), которое происходит тогда и только тогда, когда событие A не происходит. В пространстве элементарных исходов Ω событие Ā представляет собой дополнение множества A до всего пространства: Ā = Ω \ A. Эта операция является унарной, в отличие от бинарных операций объединения и пересечения. Согласно материалам курса лекций на MathHelpPlanet, операция отрицания тесно связана с понятием противоположного события. Важным свойством является закон двойного отрицания: дополнение к дополнению события есть само событие, то есть (Ā) = A. Операции над событиями подчиняются законам алгебры событий, аналогичным законам булевой алгебры. К ним относятся коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность, а также законы де Моргана, которые связывают операции объединения, пересечения и отрицания. Например, дополнение объединения равно пересечению дополнений: A ∪ B = Ā ∩ B̄. Эти законы, как показано в статье «Основы теории вероятностей» на CyberLeninka, позволяют преобразовывать сложные выражения и упрощать вычисление вероятностей. Понимание и корректное применение операции отрицания является необходимым базисом для дальнейшего изучения свойств вероятностной меры, которая ставит в соответствие каждому событию число от 0 до 1 – его вероятность. Вероятность дополнения события вычисляется по формуле P(Ā) = 1 – P(A), что непосредственно вытекает из аксиомы нормировки и аддитивности вероятности. Таким образом, операция дополнения не только расширяет язык для описания случайных явлений, но и предоставляет essential инструмент для вероятностных расчётов.

Рассмотрение операций над случайными событиями было бы неполным без анализа их свойств и введения вероятностной меры, которая позволяет количественно оценивать возможность наступления тех или иных исходов. Свойства операций над событиями, такие как коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность, образуют алгебраическую основу теории вероятностей, что подробно освещено в работах Гмурмана и на ресурсе MathHelpPlanet. Эти свойства позволяют упрощать сложные комбинации событий, сводя их к более простым формам, что является важным инструментом при решении практических задач. Вероятностная мера, вводимая на σ-алгебре событий, представляет собой функцию P, удовлетворяющую аксиомам Колмогорова. Согласно первой аксиоме, вероятность любого события является неотрицательным числом. Вторая аксиома утверждает, что вероятность достоверного события равна единице. Третья, аксиома аддитивности, гласит, что вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей. Эти фундаментальные положения, описанные в источниках «Основы теории вероятностей» и на портале KnigaFund, обеспечивают строгое математическое обоснование для всех последующих построений теории. Из указанных аксиом логически выводятся основные свойства вероятности: вероятность невозможного события равна нулю; вероятность противоположного события вычисляется как P(Ā) = 1 – P(A); для любых событий A и B справедливо неравенство P(A) ≤ P(B), если A влечёт B; а также формула P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) для вероятности объединения двух произвольных событий. Эти свойства, рассмотренные на сайте Semestr.ru, являются рабочим инструментарием для вычисления вероятностей сложных событий, выраженных через простые. Таким образом, свойства операций над событиями и аксиоматически заданная вероятностная мера создают непротиворечивый и мощный формализм, позволяющий моделировать и анализировать случайные явления в различных областях знания.